Hallo Dirk,
hört sich eher so an, als gäbe es irgendwo einen "kalten Masseschluss".
Irgend ein Masse führendes Teil könnte gegen HOT des Pickups kommen???
Testen ... Multimeter ...
Ansonsten: Falls Du keine "leere" Klinkenbuchse rumfliegen hast:
Eben die Kabel von der Klinkenbuchse des Jazz Bass ablöten und die beiden Kabel des J-Pickups direkt anlöten. Richtung ist egal. Ggf. kann aber Schwarz an den Ring und Weiß an die Spitze. Klinkenkabel rein und am Amp testen, ob der PU voll da ist.
Vielleicht kommt das mittlere Bein des Volume PUs gegen das Kontrollblech oder ein anderes Teil das Masse führt? Oder eben ein winziger Draht der weißen Pickup Litze (die ja vermutlich in der Mitte des Volume angelötet ist.